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这道题考查的是多元函数极值的必要条件以及调和函数的极值原理。详细分析如下：1. 调和函数性质：题目已知 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0，说明函数 u(x,y) 是一个调和函数。根据调和函数的极值原理，在区域内部如果没有极值点（或不是常数），最大值和最小值只能在边界上取得。2. 极值判定条件：假设函数在区域内部某点取得极值，则必须满足 \frac{\partial u}{\partial x} = 0 且 \frac{\partial u}{\partial y} = 0。 设 A = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}，B = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}，C = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}。 极值的判定条件是 AC - B^2 > 0。 因为 A + C = 0，即 C = -A，代入判定式得： AC - B^2 = -A^2 - B^2 题目已知 B \neq 0，所以 -A^2 - B^2 < 0 恒成立。 这意味着函数在内部不存在极值点（实际上内部点都是鞍点）。3. 结论：因为函数在有界闭区域 D 上连续（必然存在最大值和最小值），且内部没有极值点，所以最大值和最小值一定都在 D 的边界上取得。正确选项是：(A) u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得答案：A
发布于 浙江
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